11 / CFD FUNDAMENTALS

작은 셀에서
보존을 확인합니다.

1차원 핀의 유한체적 수치해를 해석해와 비교하고 격자 수렴을 확인합니다.

공개 핀 해석 근거 · 합성 격자 실험

작은 체적에서 보존과 수렴을 확인한다

열수지로 유체 전체의 온도 상승을 계산할 수 있지만, 국부 유동과 핫스폿의 위치까지 알 수는 없습니다. CFD는 이런 공간적 분포를 해석하는 데 필요합니다. 이 장에서는 연속체 방정식을 작은 제어체적의 에너지 보존으로 바꾸는 과정을 1차원 원형 핀으로 익힙니다.

선수는 06 Heat Conduction과 09 Heat Sink Design입니다. 목표는 유한체적 이산화, 해석해와의 격자 수렴, 보존 검사를 통한 수치 구현 검증입니다. 브라우저 계산은 CFD 솔버가 아닌 개념 실험입니다. 모든 조건은 합성 값이며 실제 제품 온도를 예측하지 않습니다.

물리 개념

핀을 길이 방향으로 n개 셀로 나누고 셀 중심 온도를 미지수로 둡니다. 정상상태에서 각 셀에 들어온 전도 열량은 이웃으로 나가는 전도와 측면 대류로 빠지는 열량의 합과 같습니다. 셀 경계의 전도 열량은 이웃 셀에서 부호가 반대이므로 전체 셀을 더하면 내부 전도가 상쇄됩니다.

뿌리는 고정 온도이고 첫 셀 중심까지의 거리는 반 셀입니다. 끝단은 단열이므로 끝단 면을 통과하는 전도는 0입니다. 셀 수를 바꿔도 같은 물리 조건과 경계 조건을 유지해야 격자 수렴을 비교할 수 있습니다.

핵심 방정식

해석해의 근거는 Lienhard, A Heat Transfer Textbook, 6th ed. §4.5의 끝단 단열 핀 열량(식 4.43~4.44 계열)과 효율 식 (4.53)입니다. 유한체적 이산화는 아래 제어체적 에너지 보존에서 직접 유도합니다. 교재의 별도 이산화 식 번호를 부여하지 않습니다.

A=\frac{\pi D^2}{4},\quad P=\pi D,\quad \Delta x=\frac{L}{n},\quad \theta_i=T_i-T_\infty,\quad g=\frac{kA}{\Delta x},\quad s=hP\Delta x

내부 셀의 에너지 보존과 양 끝 셀의 식은 다음과 같습니다(n ≥ 2).

-g\theta_{i-1}+(2g+s)\theta_i-g\theta_{i+1}=0

(3g+s)\theta_1-g\theta_2=2g\theta_0,\qquad -g\theta_{n-1}+(g+s)\theta_n=0

n = 1에서는 양 경계를 한 셀에 적용하여 $(2g+s)\theta_1=2g\theta_0$ 가 됩니다. 삼중대각 알고리즘(TDMA)으로 셀 온도차를 풉니다.

\dot Q_{FV}=2g(\theta_0-\theta_1),\qquad \dot Q_{conv}=\sum_{i=1}^n s\theta_i

m=\sqrt{\frac{hP}{kA}},\quad \theta_a(x)=\theta_0\frac{\cosh[m(L-x)]}{\cosh(mL)},\quad \eta=\frac{\tanh(mL)}{mL}

\dot Q_a=\sqrt{hPkA}\,\theta_0\tanh(mL),\quad e_n=\frac{|\dot Q_{FV}-\dot Q_a|}{|\dot Q_a|},\quad p_n=\log_2\frac{e_n}{e_{2n}}

변수	의미	단위·조건
D, L, x, Δx	지름·길이·뿌리로부터 위치·셀 길이	m, D·L > 0
A, P	단면적·둘레(전력이 아님)	m², m
n	등간격 셀 수	정수, 화면 2~200, 모델 단위 검증 n = 1 포함
k, h	일정 열전도율·측면 대류 계수	W/(m·K), W/(m²·K), 0 초과
T0, T∞, Ti	뿌리·주변·셀 중심 온도	내부 K, 0 초과, 화면 °C
θ0, θi	주변 대비 온도차	K
g, s	이웃 전도·셀 측면 대류 컨덕턴스	W/K
m, mL, η	핀 변수·무차원 길이·효율	1/m, 무차원, 무차원
QFV, Qconv, Qa	뿌리 수치 열량·측면 대류 합·해석 열량	W
e, p	상대 열량 오차·관측 차수	무차원

내부 온도는 K, 화면 mm는 m로 변환합니다. 열량은 뿌리에서 핀으로 들어오는 방향이 양입니다. 기준 조건은 θ0 > 0이므로 명세의 상대 오차 분모 Qa와 같습니다. 뿌리가 주변보다 차가울 때는 분모의 절댓값을 사용합니다. θ0 = 0이면 두 열량은 0이고 상대 열량 오차·관측 차수는 정의되지 않습니다.

공학적 해석

격자가 충분히 세밀해지면 이 이산화의 열량 오차는 대략 Δx²에 비례합니다. n을 두 배로 늘리면 오차는 약 1/4로 줄고 관측 차수는 2에 가까워집니다. 기준값에서 수치 뿌리 열량은 해석 열량보다 작으며 세분할수록 가까워집니다.

보존 오차는 $|\dot Q_{FV}-\dot Q_{conv}|/|\dot Q_{FV}|$ 입니다. 두 열량이 모두 0이면 보존 오차를 0으로 표시합니다. 보존 오차가 작아도 해석해와의 오차가 클 수 있습니다. TDMA가 선형계를 잘 풀었는지 보는 잔차와, 격자 이산화 오차를 구분해야 합니다. 해석해·보존·수렴을 함께 확인하는 것이 verification입니다. 실제 측정과의 비교로 물리 모델의 적절성을 확인하는 과정까지 완료한 것은 아닙니다.

12 Direct Liquid Cooling과 14 System Level Thermal의 전체 열수지가 충분한 문제와 국부 유동·핫스폿 때문에 CFD가 필요한 문제를 먼저 구분합니다. 이 핀 모델은 유동장·압력·난류를 풀지 않습니다.

시뮬레이터

입력은 06 재료의 일정 k, h, 원형 핀 D·L, 뿌리·주변 온도와 n입니다. 모델은 정상 1차원 전도와 측면 대류, 반 셀 뿌리 경계와 끝단 단열입니다. 출력은 수치해 점과 해석해 실선, 뿌리 열량·대류 합·보존 오차, n = 5~80의 수렴 표·로그 오차 그래프입니다. 온도 표는 같은 셀 중심 위치의 두 해를 비교합니다.

빈 값·비유한 값은 형식 오류, 비양수 k·h·치수·절대온도는 물리 입력 오류, 화면 n이 2~200 정수가 아니면 모델 범위 밖으로 계산을 중단합니다. 수치 표현 한계도 안내합니다. URL model=fv-v1은 모든 입력을 기록하며 무효 필드는 기본값, 다른 판본은 전체 기본값으로 복구합니다. 수렴 표는 현재 n과 별도로 고정 격자를 비교합니다. 관측 차수 2는 기준 조건의 검증 결과이며 임의 조건에 대한 오차 보증은 아닙니다.

INPUTS / 합성 원형 핀

격자 수렴 탐색기

재료 · k (W/(m·K))

대류 계수 h (W/(m²·K))

핀 지름 D (mm)

핀 길이 L (mm)

뿌리 온도 T0 (°C)

주변 온도 T∞ (°C)

셀 수 n (2~200)

06 재료 표의 k를 일정하게 사용합니다. 금속은 20 °C 기준이며 실제 온도 의존성은 포함하지 않습니다.

OUTPUTS / 검증과 수렴

QFV = 2kA(T0 − T1)/Δx · Σ hPΔx(Ti − T∞)

브라우저 계산은 CFD 솔버가 아닌 1차원 유한체적 개념 실험입니다.

뿌리 열량 QFV 0.097435012 W · 해석해 Qa 0.097438842 W

측면 대류 합 0.097435012 W · 상대 보존 오차 5.328352e-13

상대 열량 오차 3.930824e-5 · 셀 수 n 20 · Δx 1 mm

m 15.476464651 1/m · mL 0.309529293 · 핀 효율 η 0.969242083

열량 부호는 뿌리에서 핀으로 들어오는 방향을 양으로 정합니다. 온도차가 0이면 열량은 0이고 상대 열량 오차·관측 차수는 정의되지 않습니다.

온도 분포 · 수치해 점 / 해석해 실선

셀 중심 온도 데이터 표

셀 중심 수치해와 해석해
셀	x (mm)	수치해 (°C)	해석해 (°C)
1	0.5	79.907142133	79.908335167
2	1.5	79.730984997	79.732169353
3	2.5	79.564344264	79.565520416
4	3.5	79.40718002	79.40834844
5	4.5	79.259454623	79.260615778
6	5.5	79.121132687	79.122287043
7	6.5	78.992181083	78.993329103
8	7.5	78.872568923	78.87371107
9	8.5	78.762267558	78.76340429
10	9.5	78.661250568	78.662382344
11	10.5	78.569493759	78.570621033
12	11.5	78.486975151	78.488098379
13	12.5	78.413674981	78.414794615
14	13.5	78.34957569	78.350692183
15	14.5	78.294661927	78.295775729
16	15.5	78.248920538	78.250032099
17	16.5	78.212340568	78.213450337
18	17.5	78.184913253	78.186021679
19	18.5	78.166632026	78.167739556
20	19.5	78.157492507	78.158599589

격자 수렴 · 로그 오차 그래프

n = 5, 10, 20, 40, 80 · 같은 물리 조건. 가로 log₂(n), 세로 log₁₀(상대 열량 오차). 차수는 다음 2n 행과 비교합니다.

격자 수렴 데이터
n	QFV (W)	상대 오차	관측 차수	상대 보존 오차
5	0.097377603	0.000628484	1.999177353	2.593776e-14
10	0.097423523	0.000157211	1.999794236	7.749172e-14
20 · 현재	0.097435012	3.930824e-5	1.999948952	5.328352e-13
40	0.097437884	9.827407e-6	1.999983882	2.632906e-12
80	0.097438602	2.456879e-6	—	5.059398e-12

ASSUMPTIONS / 가정과 한계

정상상태·일정 k와 h·1차원 원형 핀·등온 뿌리·끝단 단열·측면 대류만을 가정합니다. 유동장·압력·난류·복사·접촉·다차원 퍼짐을 계산하지 않습니다. 해석해·보존·격자 수렴은 수치 구현의 검증이며 실제 제품의 측정 검증을 대신하지 않습니다.

계산 예제

명세의 합성 조건은 Al 6061-T6 k 167 W/(m·K), h 20 W/(m²·K), D 2 mm, L 20 mm, T0 80 °C, T∞ 40 °C입니다. m 15.4764647 1/m, mL 0.309529293, Qa 0.0974388419 W, η 0.969242083입니다.

n	QFV (W)	상대 오차	다음 2n과 관측 차수
5	0.0973776032	6.2848e-4	1.9992
10	0.0974235235	1.5721e-4	1.9998
20	0.0974350117	3.9308e-5	1.9999
40	0.0974378843	9.8274e-6	2.0000
80	0.0974386025	2.4569e-6	—

위 숫자는 명세의 기준값을 직접 기록했습니다. 테스트는 Q 상대 1e-6, 관측 차수 1.99~2.01, 상대 보존 오차 1e-9를 확인합니다. 같은 식으로 기대값을 다시 생성하지 않습니다.

설계 고려사항

경계 위치·온도·단열 조건과 물성 조건을 먼저 고정합니다.
같은 물리 조건에서 여러 격자를 비교하고 관심 출력의 수렴을 확인합니다.
전체 보존·선형계 잔차·해석해 오차를 각각 검토합니다.
1차원·일정 h 가정으로 충분한지 확인하고 국부 유동·핫스폿은 별도 CFD 문제로 정의합니다.
재료 표의 일정 k는 실제 온도 의존 물성을 대신하지 않습니다.

흔한 실수

뿌리와 첫 셀 중심의 거리를 Δx로 사용합니다(실제는 Δx/2).
끝단에 대류를 더해 끝단 단열 모델을 바꿉니다.
보존이 맞다는 이유만으로 격자 오차가 없다고 판단합니다.
격자마다 h·형상·경계를 바꾸고 수렴 차수를 비교합니다.
개념 실험을 실제 CFD 솔버나 제품 시험 결과로 해석합니다.

설계 체크리스트

합성 조건·일정 k·h·단위 변환을 기록했습니까?
셀 중심·반 셀 뿌리 경계·끝단 단열을 확인했습니까?
해석해와 같은 형상·경계 조건을 사용했습니까?
뿌리 열량과 측면 대류 합을 비교했습니까?
n·2n의 상대 오차와 관측 차수를 확인했습니까?
온도차 0의 상대 오차가 정의되지 않음을 구분했습니까?
전체 열수지로 충분한지, 국부 유동 해석이 필요한지 판단했습니까?

학습 퀴즈

1. 뿌리와 첫 셀 중심 사이 전도 거리는?ΔxΔx/22Δx

2. 명세 기준 n = 20의 뿌리 열량 QFV는?0.0974350117 W0.0974388419 W167 W

3. 2차 수렴에서 n을 두 배로 늘리면 오차는 대략?두 배같음1/4

4. 보존 오차가 작을 때 추가로 확인할 것은?격자 수렴과 해석해 오차더 확인할 필요 없음실제 펌웨어의 재현 여부

참고문헌

J. H. Lienhard IV & V — A Heat Transfer Textbook, 6th ed.: 11: §4.5 끝단 단열 핀 열량 식 4.43~4.44 계열·효율 식 4.53, Table A.1·A.2의 일정 k 재사용. 유한체적 이산화는 제어체적 에너지 보존에서 직접 유도합니다. 브라우저 계산은 CFD 솔버가 아닌 개념 실험이며 그림·본문은 복제하지 않습니다. 2026-10-03 확인.

공개 교육 자료와 명시된 합성 데이터만 사용했습니다. 도식·이산화 설명은 독립 작성하며 교재 그림·본문을 복제하지 않습니다.

작은 셀에서보존을 확인합니다.